Alcatrazz era el nombre del osito de peluche de Jimmy Waldo cuando era niño, de ahí la banda eligió el nombre, Originalmente iban a elegir "La experiencia Rosie O'Donnell", pero luego sintieron que indicaría simpatía por la celebridad. La formación inicial de la banda estaba formada por Graham Bonnet (voz principal), Yngwie Malmsteen (guitarra), Gary Shea (bajo), Jimmy Waldo (teclados, voz) y Jan Uvena (batería, voz). Shea y Waldo fueron anteriormente miembros del grupo New England. Uvena había trabajado con Alice Cooper. Malmsteen había estado en la banda sueca de metal progresivo Silver Mountain y recientemente había llegado a los Estados Unidos y se unió a la banda Steeler para un álbum. El material de Alcatrazz fue escrito por Malmsteen, Bonnet, Waldo y Vai. Shea apodó al grupo "Alcatrazz". Presenta todos sus grandes éxitos.
